Butterworth-filter: första ordning och andra ordens lågpass-butterworth-filter

Elektriska filter har många applikationer och används i stor utsträckning i många signalbehandlingskretsar. Den används för att välja eller eliminera signaler för vald frekvens i ett komplett spektrum av en given ingång. Så filtret används för att tillåta signaler med vald frekvens att passera genom det eller eliminera signaler med vald frekvens som passerar genom det.

För närvarande finns det många typer av filter tillgängliga och de är differentierade på många sätt. Och vi har täckt många filter i tidigare handledning, men den mest populära differentieringen baseras på,

Analog eller digital
Aktiv eller passiv
Ljud eller radiofrekvens
Frekvensval

Analoga eller digitala filter

Vi vet att signaler som genereras av miljön är analoga, medan signalerna som bearbetas i digitala kretsar är digitala. Vi måste använda motsvarande filter för analoga och digitala signaler för att få önskat resultat. Så vi måste använda analoga filter vid bearbetning av analoga signaler och använda digitala filter medan vi behandlar digitala signaler.

Aktiva eller passiva filter

Filtren delas också ut baserat på de komponenter som används vid utformningen av filtren. Om utformningen av filtret är helt baserat på passiva komponenter (som motstånd, kondensator och induktor) kallas filtret passivt filter. Å andra sidan, om vi använder en aktiv komponent (op-amp, spänningskälla, strömkälla) medan vi utformar en krets kallas filtret ett aktivt filter.

Mer populärt är ett aktivt filter att föredra framför passivt eftersom de har många fördelar. Några av dessa fördelar nämns nedan:

Inget laddningsproblem: Vi vet att i en aktiv krets använder vi en op-amp som har mycket hög ingångsimpedans och låg utgångsimpedans. I det fallet när vi ansluter ett aktivt filter till en krets, kommer strömmen som dras av op-amp att vara mycket försumbar eftersom den har mycket hög ingångsimpedans och därigenom upplever kretsen ingen belastning när filtret är anslutet.
Få justeringsflexibilitet: I passiva filter är förstärkningen eller signalförstärkningen inte möjlig eftersom det inte finns några specifika komponenter för att utföra en sådan uppgift. Å andra sidan i ett aktivt filter har vi en förstärkare som kan ge insignalerna hög förstärkning eller signalförstärkning.
Frekvensjusteringsflexibilitet: Aktiva filter har högre flexibilitet vid justering av gränsfrekvensen jämfört med passiva filter.

Filter baserade på ljud- eller radiofrekvens

Komponenterna som används vid design av filter ändras beroende på filterapplikation eller var installationen används. Till exempel används RC-filter för ljud- eller lågfrekventa applikationer medan LC-filter används för radio- eller högfrekventa applikationer.

Filter baserade på frekvensval

Filtren är också uppdelade baserat på signalerna som passerar genom filtret

Lågpassfilter:

Alla signaler över valda frekvenser dämpas. De är av två typer - aktivt lågpassfilter och passivt lågpassfilter. Frekvenssvaret för lågpassfiltret visas nedan. Här är den streckade grafen det ideala lågpassfilterdiagrammet och en ren graf är det faktiska svaret för en praktisk krets. Detta hände eftersom ett linjärt nätverk inte kan producera en diskontinuerlig signal. Som visas i figuren efter att signalerna når gränsfrekvensen fH upplever de dämpning och efter en viss högre frekvens blockeras signalerna som ges vid ingången helt.

Högpassfilter:

Alla signaler över valda frekvenser visas vid utgången och en signal under frekvensen blockeras. De är av två typer - Active High Pass Filter och Passive High Pass Filter. Frekvenssvaret för ett högpassfilter visas nedan. Här är ett streckat diagram det ideala högpassfilterdiagrammet och ett rent diagram är det faktiska svaret för en praktisk krets. Detta hände eftersom ett linjärt nätverk inte kan producera en diskontinuerlig signal. Som visas i figuren tills signalerna har en frekvens högre än avstängningsfrekvensen fL upplever de dämpning.

Bandpassfilter:

I detta filter tillåts endast signaler från det valda frekvensområdet att visas vid utgången, medan signaler från någon annan frekvens blockeras. Bandpassfilterets frekvensrespons visas nedan. Här är den streckade grafen det perfekta bandpassfilterdiagrammet och en ren graf är det faktiska svaret för en praktisk krets. Som visas i figuren tillåts signalerna på frekvensområdet från fL till fH att passera genom filtret medan signaler från annan frekvens upplever dämpning. Läs mer om Band Pass Filter här.

Band avvisa filter:

Funktionen för bandavvisningsfilter är exakt motsatsen till bandpassfiltret. Alla frekvenssignaler som har frekvensvärde i det valda bandområdet som tillhandahålls vid ingången blockeras av filtret medan signaler från någon annan frekvens tillåts visas vid utgången.

Alla passfilter:

Signaler av valfri frekvens får passera genom detta filter förutom att de upplever en fasförskjutning.

Baserat på applikation och kostnad kan designern välja lämpligt filter från olika typer.

Men här kan du se på utgångsdiagrammen att de önskade och faktiska resultaten inte är exakt desamma. Även om detta fel är tillåtet i många applikationer behöver vi ibland ett mer exakt filter vars utgångsdiagram tenderar mer mot det ideala filtret. Detta nästan idealiska svar kan uppnås med hjälp av speciella designtekniker, precisionskomponenter och höghastighets-förstärkare.

Butterworth, Caur och Chebyshev är några av de mest använda filtren som kan ge en nästan ideal svarkurva. I dem kommer vi att diskutera Butterworth-filtret här eftersom det är det mest populära av de tre.

De viktigaste funktionerna i Butterworth-filtret är:

Det är ett RC-filter (motstånd, kondensator) och Op-amp (operationsförstärkare)
Det är ett aktivt filter så förstärkningen kan justeras vid behov
Den viktigaste egenskapen hos Butterworth är att den har ett platt passband och ett platt stoppband. Detta är anledningen till att det vanligtvis kallas "platt-platt filter".

Låt oss nu diskutera kretsmodellen för Low Pass Butterworth Filter för en bättre förståelse.

Första beställningen lågpass Butterworth-filter

Figuren visar kretsmodellen för det första ordningens lågpassfilter med smörvärde.

I kretsen har vi:

Spänning 'Vin' som en ingångsspänningssignal som är analog till sin natur.
Spänning 'Vo' är utgångsspänningen för operationsförstärkaren.
Motstånd 'RF' och 'R1' är de negativa återkopplingsmotstånden hos operationsförstärkaren.
Det finns ett enda RC-nätverk (markerat med den röda rutan) närvarande i kretsen, därför är filtret ett första ordningens lågpassfilter
'RL' är belastningsmotståndet anslutet vid op-amp-utgången.

Om vi använder spänningsdelarregeln vid punkten 'V1' så kan vi få spänningen över kondensatorn som, V ₁ = V _i här –jXc = 1 / 2ᴫfc

Efter byte av denna ekvation kommer vi att ha något som nedan

V ₁ = Vi- _n / (1 + j2ᴫfRC)

Nu används förstärkaren här i negativ återkopplingskonfiguration och för ett sådant fall ges utspänningsekvationen som, V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Detta är en standardformel och du kan titta på op-amp-kretsar för mer information.

Om vi skickar in V1-ekvation i Vo kommer vi att ha, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Efter att ha skrivit om denna ekvation kan vi ha, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

I denna ekvation,

V ₀ / V _in = förstärkning av filtret som en funktion av frekvensen
AF = (1 + R _F / R ₁) = passbandsförstärkningen för filtret
f = insignalens frekvens
f _L = 1 / 2ᴫRC = filterets avstängningsfrekvens. Vi kan använda denna ekvation för att välja lämpliga motstånds- och kondensatorvärden för att välja kretsens avstängningsfrekvens.

Om vi konverterar ovanstående ekvation till en polär form kommer vi att ha,

Vi kan använda denna ekvation för att observera förändringen i förstärkningsstorlek med förändringen i insignalens frekvens.

Fall 1: f < L . Så låt oss överväga att ingångsfrekvensen är mycket mindre än filterets avstängningsfrekvens,

Så när ingångsfrekvensen är mycket mindre än filtergränsfrekvensen är förstärkningsstorleken ungefär lika med loopförstärkningen hos op-amp.

Fall 2: f = f _L. Om ingångsfrekvensen är lika med filterets avstängningsfrekvens,

Så när ingångsfrekvensen är lika med filtergränsfrekvensen är förstärkningsstorleken 0,707 gånger loopförstärkningen för op-amp.

Case3: f> f _L. Om ingångsfrekvensen är högre än filterets avstängningsfrekvens,

Som du kan se från mönstret blir förstärkningen för filtret densamma som förstärkaren för förstärkaren tills insignalfrekvensen är mindre än gränsfrekvensen. Men när ingångssignalfrekvensen når gränsfrekvensen minskar förstärkningen marginellt, vilket ses i fall två. Och när insignalfrekvensen ökar ytterligare minskar förstärkningen gradvis tills den når noll. Så lågpass-Butterworth-filtret tillåter ingångssignalen att visas vid utgången tills insignalens frekvens är lägre än gränsfrekvensen.

Om vi har ritat frekvensresponsdiagrammet för ovanstående krets kommer vi att ha,

Som framgår av diagrammet kommer förstärkningen att vara linjär tills insignalens frekvens passerar gränsvärdet och när det händer förstärks förstärkningen avsevärt, så gör utspänningsvärdet.

Andra ordningens Butterworth lågpassfilter

Figuren visar kretsmodellen för andra ordens Butterworth lågpassfilter.

I kretsen har vi:

Spänning 'Vin' som en ingångsspänningssignal som är analog till sin natur.
Spänning 'Vo' är utgångsspänningen för operationsförstärkaren.
Motstånd 'RF' och 'R1' är de negativa återkopplingsmotstånden hos operationsförstärkaren.
Det finns ett dubbelt RC-nätverk (markerat med en röd fyrkant) närvarande i kretsen, därför är filtret ett andra ordningens lågpassfilter.
'RL' är belastningsmotståndet anslutet vid op-amp-utgången.

Andra ordning av lågpass Butterworth filterderivation

Andra ordningens filter är viktiga eftersom filter av högre ordning är utformade med hjälp av dem. Förstärkningen hos den andra ordningens filter sätts av R1 och RF, medan gränsfrekvensen f _H bestäms av R ₂, R ₃, C ₂ & F ₃ värden. Derivationen för gränsfrekvensen ges enligt följande, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

Spänningsförstärkningsekvationen för denna krets kan också hittas på ett liknande sätt som tidigare och denna ekvation ges nedan,

I denna ekvation,

V ₀ / V _in = förstärkning av filtret som en funktion av frekvensen
A _F = (1 + R _F / R ₁) passbandsförstärkningen för filtret
f = insignalens frekvens
f _H = 1/2 "(R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = filterens avstängningsfrekvens. Vi kan använda denna ekvation för att välja lämpliga motstånds- och kondensatorvärden för att välja kretsens avstängningsfrekvens. Även om vi väljer samma motstånd och kondensator i RC-nätverket blir ekvationen,

Vi kan spänningsförstärkningsekvationen för att observera förändringen i förstärkningsstorlek med motsvarande förändring i insignalens frekvens.

Fall 1: f < H . Så låt oss överväga att ingångsfrekvensen är mycket mindre än filterets avstängningsfrekvens,

Så när ingångsfrekvensen är mycket mindre än filtergränsfrekvensen är förstärkningsstorleken ungefär lika med loopförstärkningen hos op-amp.

Fall 2: f = f _H. Om ingångsfrekvensen är lika med filterets avstängningsfrekvens,

Så när ingångsfrekvensen är lika med filtergränsfrekvensen är förstärkningsstorleken 0,707 gånger loopförstärkningen för op-amp.

Case3: f> f _H. Om ingångsfrekvensen verkligen är högre än filterets avstängningsfrekvens,

På samma sätt som första ordningens filter kommer förstärkningen av filtret att vara densamma som förstärkningen av förstärkaren upp till insignalfrekvensen är mindre än avstängningsfrekvensen. Men när ingångssignalfrekvensen når gränsfrekvensen minskar förstärkningen marginellt, vilket ses i fall två. Och när insignalfrekvensen ökar ytterligare minskar förstärkningen gradvis tills den når noll. Så lågpass-Butterworth-filtret tillåter ingångssignalen att visas vid utgången tills insignalens frekvens är lägre än gränsfrekvensen.

Om vi ritar frekvensresponsdiagrammet för ovanstående krets kommer vi att ha,

Nu kanske du undrar var är skillnaden mellan första ordningens filter och andra ordningens filter ? Svaret ligger i diagrammet. Om du observerar noggrant kan du se efter att insignalfrekvensen passerar gränsfrekvensen får diagrammet en kraftig nedgång och detta fall är tydligare i andra ordningen jämfört med första ordningen. Med denna branta lutning kommer andra ordningens Butterworth-filter att lutas mer mot det perfekta filterdiagrammet jämfört med ett enda ordens Butterworth-filter.

Detta är detsamma för tredje ordens Butterworth lågpassfilter, Forth Order Butterworth lågpassfilter och så vidare. Ju högre ordning på filtret desto mer lutar förstärkningsdiagrammet till ett perfekt filterdiagram. Om vi ritar förstärkningsdiagrammet för Butterworth-filter av högre ordning har vi något liknande

I diagrammet representerar den gröna kurvan den ideala filterkurvan och du kan se när Butterworth-filtrets ordning ökar förstärkningsdiagrammet lutar mer mot den ideala kurvan. Så högre ordning som valts av Butterworth-filter, desto mer idealisk blir förstärkningskurvan. Med detta sagt kan du inte välja ett filter av högre ordning lätt eftersom filtrets noggrannhet minskar med ökad ordning. Därför är det bäst att välja ordningen på ett filter medan du håller ett öga på erforderlig noggrannhet.

Andra ordning lågpass Butterworth filterderivation -Aliter

Efter att artikeln publicerades fick vi ett mail från Keith Vogel, som är en pensionerad elektrotekniker. Han hade märkt ett allmänt publicerat fel i beskrivningen av ett ^{lågpassfilter i andra} ordningen och erbjöd sin förklaring för att korrigera det som följer.

Så låt mig också få rätt:

Och säg sedan att -6db-gränsfrekvensen beskrivs av ekvationen:

f _c = 1 / (

)

Detta är dock helt enkelt inte sant! Låt oss få dig att tro mig. Låt oss skapa en krets där R1 = R2 = 160 och C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Med tanke på ekvationen borde vi ha en -6db-frekvens på:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947kHz

Låt oss fortsätta och simulera kretsen och se var -6db-punkten är:

Åh, det simulerar till 6,33 kHz INTE 9,947 kHz; men simuleringen är INTE fel!

För din information har jag använt -6.0206db istället för -6db eftersom 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 är lite närmare än -6, och för att få en mer exakt simulerad frekvens till våra ekvationer, ville jag använda något lite närmare än bara -6db. Om jag verkligen ville uppnå den frekvens som anges i ekvationen, skulle jag behöva buffra mellan ^{filterets första} och ^andra steg. En mer exakt krets till vår ekvation skulle vara:

Och här ser vi vår -6.0206db-punkt simulerar till 9.945kHz, mycket mycket närmare vår beräknade 9.947kHz. Förhoppningsvis tror du mig att det finns ett fel! Låt oss nu prata om hur felet uppstod och varför det här bara är dålig teknik.

De flesta beskrivningar börjar med ett 1: ^a ordning lågpassfilter, med impedansen enligt följande.

Och du får en enkel överföringsfunktion av:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Då säger de att om du bara sätter 2 av dessa ihop för att skapa ett ^andra ordningsfilter får du:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

Där H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (SRC + 1)

Vilket vid beräkning kommer att resultera i fc = 1 / ((2π√R1C1R2C2) ekvationen. Här är felet, svaret av H ₁ (s) inte är oberoende av H ₂ (s) i kretsen, kan man inte säga H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (SRC + 1).

Impedansen hos H ₂ (s) påverkar effekten av H ₁ (s). Och således varför denna kretsen fungerar, eftersom opamp isolerar H ₂ (s) från H ₁ (s)!

Så nu ska jag analysera följande krets. Tänk på vår ursprungliga krets:

För enkelhetens skull kommer jag att göra R1 = R2 och C1 = C2, annars blir matematiken riktigt involverad. Men vi borde kunna härleda den faktiska överföringsfunktionen och jämföra den med våra simuleringar för validering när vi är klara.

Om vi säger, Z ₁ = 1 / sC parallellt med (R + 1 / sC), kan vi rita om kretsen som:

Vi vet att V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁); Där Z ₁ kan vara en komplex impedans. Och om vi går tillbaka till vår ursprungliga krets kan vi se Z ₁ = 1 / sC parallellt med (R + 1 / sC)

Vi kan också se att Vo / V ₁ = 1 / (SRC + 1), som är H ₂ (s). Men H ₁ (s) är mycket mer komplex, det är Z ₁ / (R + Z ₁) där Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); och är INTE 1 / (sRC + 1)!

Så nu kan vi slipa genom matematiken för vår krets; för specialfallet R1 = R2 och C1 = C2.

Vi har:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

Och slutligen

Vo / V _in = * = * = * = * = *

Här kan vi se att:

H ₁ (s) = (SRC + 1) / ((SCR) ² + 3sRC + 1)…

inte en / (SRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (SRC + 1)

Och..

Vo / V _i = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((SRC) ² + 3sRC + 1)

Vi vet att punkten -6db är (

/ 2) ² = 0,5

Och vi vet när storleken på vår överföringsfunktion är 0,5, vi är vid -6db-frekvensen.

Så låt oss lösa det:

-Vo / V _in - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5

Låt s = jꙍ, vi har:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

För att hitta storleken, ta kvadratroten av kvadraten med de verkliga och imaginära termerna.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

kvadrera båda sidor:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Expanderar:

1-2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² till - 3 = 0

Låt x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Använda kvadratiska ekvationen för att lösa för x