Maxwell-ekvationer är grunden för elektromagnetisk teori, som utgör en uppsättning av fyra ekvationer som relaterar till de elektriska och magnetiska fälten. I stället för att lista ut den matematiska representationen av Maxwell-ekvationer, kommer vi att fokusera på vad som är den faktiska betydelsen av dessa ekvationer i den här artikeln. Maxwells första och andra ekvation behandlar statiska elektriska fält respektive statiska magnetfält. Maxwells tredje och fjärde ekvation handlar om att ändra magnetfält respektive byta elektriska fält.
Maxwell-ekvationerna är:
- Gauss elektricitetslag
- Gauss Magnetism Law
- Faradays induktionslag
- Ampere's Law
1. Gauss elektricitetslag
Denna lag säger att det elektriska flödet från en sluten yta är proportionell mot den totala laddningen som är innesluten av den ytan. Gauss-lagen behandlar det statiska elektriska fältet.
Låt oss betrakta en positiv punktladdning Q. Vi vet att de elektriska flödeslinjerna riktas utåt från den positiva laddningen.
Låt oss överväga en sluten yta med laddning Q innesluten i den. Områdesvektorn väljs alltid Normal för den eftersom den representerar ytans orientering. Låt vinkeln som görs av den elektriska fältvektorn med areavektorn vara θ.
Electric Flux ψ är
Anledningen till att välja punktprodukten är att vi behöver beräkna hur mycket elflöde som passerar genom ytan representerad av en normal areavektor.
Från coulombs-lag vet vi att det elektriska fältet (E) på grund av en punktladdning är Q / 4πε 0 r 2.
Med tanke på en sfärisk symmetri är den integrerade formen av Gauss-lag:
Därför är det elektriska flödet Ψ = Q inneslutet / ε 0
Här representerar den bifogade Q vektorsumman av alla laddningar inuti ytan. Området som omsluter laddningen kan ha vilken form som helst, men för att tillämpa Gauss-lag måste vi välja en Gaussisk yta som är symmetrisk och har enhetlig laddningsfördelning. Den Gaussiska ytan kan vara cylindrisk eller sfärisk eller ett plan.
För att härleda dess differentiella form måste vi tillämpa divergenssatsen.
Ovanstående ekvation är den differentiella formen av Gauss lag eller Maxwell ekvation jag.
I ovanstående ekvation representerar ρ volymladdningstätheten. När vi måste tillämpa Gauss-lagen på en yta med en linjeladdning eller en ytladdningsfördelning är det bekvämare att representera ekvationen med laddningstäthet.
Därför kan vi dra slutsatsen att divergensen hos ett elektriskt fält över en sluten yta ger mängden laddning (ρ) som omges av den. Genom att tillämpa divergens på ett vektorfält kan vi veta om ytan som omges av vektorfältet fungerar som en källa eller sjunker.
Låt oss betrakta en kuboid med en positiv laddning som visas ovan. När vi tillämpar divergens på det elektriska fältet som kommer ut ur rutan (kuboid), berättar resultatet av det matematiska uttrycket att rutan (kuboid) betraktas fungerar som en källa för det beräknade elektriska fältet. Om resultatet är negativt, säger det oss att lådan fungerar som en diskbänk, dvs. lådan omsluter en negativ laddning i den. Om avvikelsen är noll betyder det att det inte kostar något.
Från detta kan vi dra slutsatsen att elektriska monopol finns.
2. Gauss Magnetism Law
Vi vet att den magnetiska flödeslinjen flyter från nordpolen till sydpolen externt.
Eftersom det finns magnetiska flödeslinjer på grund av en permanent magnet kommer det att finnas en associerad magnetisk flödestäthet (B) av den. När vi tillämpar divergenssats på ytan S1, S2, S3 eller S4 ser vi att antalet flödeslinjer som kommer in och går ut ur den valda ytan förblir densamma. Därför är resultatet av divergenssatsen noll. Även i ytan S2 och S4 är avvikelsen noll, vilket innebär att varken nordpolen eller sydpolen individuellt fungerar som en källa eller sjunker som de elektriska laddningarna. Även när vi tillämpar divergens mellan magnetfältet (B) på grund av en strömbärande ledning visar det sig vara noll.
Den integrerade formen av Gauss magnetismlag är:
Den differentiella formen av Gauss Magnetism-lag är:
Av detta kan vi dra slutsatsen att magnetiska monopol inte finns.
3. Faradays induktionslag
Faradays lag säger att när det sker en förändring i magnetiskt flöde (förändras med avseende på tid) som länkar en spole eller någon ledare, kommer det att finnas en EMF inducerad i spolen. Lenzs uppgav att den inducerade EMF kommer att vara i en sådan riktning att den motsätter sig förändringen i magnetiskt flöde som producerar den.
I ovanstående illustration induceras cirkulationsström i den, när en ledande platta eller en ledare bringas under påverkan av ett föränderligt magnetfält. Strömmen induceras i en sådan riktning att det magnetfält som produceras av den motsätter sig den magnetiska förändring som skapade den. Av denna illustration är det tydligt att förändring eller varierande magnetfält skapar ett cirkulerande elektriskt fält.
Från Faradays lag, emf = - dϕ / dt
Vi vet det, ϕ = sluten yta ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrisk fält E = V / d
V = ʃ E. Dl
Eftersom det elektriska fältet förändras med avseende på ytan (curl), finns det en potentialskillnad V.
Därför är den integrerade formen av Maxwells fjärde ekvation,
Genom att tillämpa Stokes sats,
Anledningen till att Stokes sats tillämpas är att när vi tar en krulning av ett roterande fält över en sluten yta, upphäver de inre krullningskomponenterna i varandra och detta resulterar i att vektorfältet utvärderas längs den slutna banan.
Därför kan vi skriva det,
Den differentiella formen av Maxwells ekvation är
Från ovanstående uttryck är det tydligt att ett magnetfält som förändras med avseende på tid producerar ett cirkulerande elektriskt fält.
Anmärkning: I elektrostatik är krökningen av ett elektriskt fält noll eftersom det kommer radiellt utåt från laddningen och det finns ingen roterande komponent associerad med det.
4. Ampere's Law
Amperes lag säger att när en elektrisk ström flyter genom en tråd producerar den ett magnetfält runt den. Matematiskt ger linjens integral av magnetfältet runt en sluten slinga den totala strömmen som är innesluten av den.
ʃ B .dl = μ 0 I bifogad
Eftersom magnetfältet krullas runt tråden kan vi tillämpa Stokes sats på Ampers lag.
Därför blir ekvationen
Vi kan representera den inneslutna strömmen i termer av strömtätheten J.
B = μ 0 H genom att använda denna relation kan vi skriva uttrycket som
När vi applicerar divergens på krulningen i ett roterande vektorfält är resultatet noll. Det beror på att den stängda ytan inte fungerar som en källa eller sjunker, dvs antalet flöden som kommer in och ut ur ytan är detsamma. Detta kan matematiskt representeras som,
Låt oss överväga en krets som illustreras nedan.
Kretsen har en kondensator ansluten till den. När vi tillämpar divergens i regionen S1, visar resultatet att den inte är noll. I matematisk notation,
Det finns ett strömflöde i kretsen men i kondensatorn överförs laddningarna på grund av att det elektriska fältet förändras över plattorna. Så fysiskt flödar inte strömmen genom den. Maxwell myntade detta förändrade elektriska flöde som förskjutningsström (J D). Men Maxwell myntade termen Displacement Current (J D) med tanke på symmetrin i Faradays lag, dvs om ett magnetfält som förändras i tid producerar ett elektriskt fält, så producerar byte av elektriskt fält ett magnetfält genom symmetri.
Krökningen av magnetfältintensiteten (H) i regionen S1 är
Den integrerade formen av Maxwells fjärde ekvation kan uttryckas som:
Den differentiella formen av Maxwells fjärde ekvation är:
Alla dessa fyra ekvationer antingen i integralform eller differentiell form tillsammans kallas Maxwells ekvation.